生成树多项式的单调复杂性再探
摘要：展示了两个关于生成树多项式单调复杂度的新结果，这是一个经典的代数复杂度和其他领域中的多项式。首先，我们证明了生成树多项式在n个变量上，定义在常度展开图上，具有单调算术复杂度为2^(Ω(n))。这给出了VP中多项式的单调算术电路复杂度的首个强指数下界。在此结果之前，只有对于VNP中的显式多项式已知具有强指数规模的单调下界。最近，Hrubes'20 提出了一项计划，通过证明对于特定范围内epsilon值的单调算术电路具有ε敏感的下界来证明针对一般算术电路的下界。我们考虑在完全图的n个顶点上定义的生成树多项式ST_n，并展示了在n^2个变量上定义的多项式F_{n-1,n} - ε·ST_n和F_{n-1,n} + ε·ST_n，在ε ≥ 2^(-Ω(n))的情况下，它们具有单调电路复杂度为2^(Ω(n))，其中F_{n-1,n} = prod_{i=2}^n (x_{i,1} +cdots + x_{i,n})是完整的集合多项式。这为VP中的一类多项式首次提供了ε敏感的指数下界。在此过程中，我们考虑了一个关于2方最佳分割通信复杂度的问题，即判断Alice和Bob分布的两组定向边是否构成生成树。我们证明存在一个固定的分布，使得该问题在几乎平衡的每个分割下具有低差异性。该结果可能在超越代数复杂度的领域中具有重要意义。
作者：Arkadev Chattopadhyay, Rajit Datta, Utsab Ghosal and Partha Mukhopadhyay
论文ID：2109.06941
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2021-09-16