自由变换群$C^*$-代数中的异域理想
摘要：自由通过同胚作用于紧致Hausdorff空间$X$的离散群$Gamma$，并且$C(X)\times_\eta Gamma$是卷积代数$C_c(Gamma, C(X))$相对于$C^*$-范数$eta$的完备替代。如果$J\unlhd C(X)\times_\eta Gamma$是非零的理想，并且$J\cap C(X)={0}$，则称其为异国。我们证明了当$Gamma$是非可平的且$X$上存在不变概率测度时，异国理想是存在的。这一事实结合最近关于异国乘积函子的理论，使我们能够回答K. Thomsen的两个问题。利用Koopman表示和Elek的最新定理，我们证明了当$Gamma$是具有性质(T)的可数无穷群，$X$是康托集时，存在一个自由且极小的$Gamma$在$X$上的作用和一个$C^*$-范数$eta$在$C_c(Gamma, C(X))$上，使得$C(X)\times_\eta Gamma$包含紧算子作为异国理想。我们利用这个例子给出了A. Katavolos和V. Paulsen的一个正面答案。在$C(X)\times_\eta Gamma$中，不透明和灰色理想与$C(X)$的交集是平凡的，而来自arXiv:1901.09683的一个结果表明，当$Gamma$的作用是自由时，它们是相同的，然而这些理想是否可以是非零的问题仍然未解决。我们提供了一个自由作用于紧致Hausdorff空间$X$上的$Gamma$的例子，以及一个$C^*$-范数$eta$，使得这些理想是非平凡的，特别是它们是异国理想。
作者：Ruy Exel, David R. Pitts, and Vrej Zarikian
论文ID：2109.06293
分类：Operator Algebras
分类简称：math.OA
提交时间：2022-10-03