关于特殊形式数的最短加法链与对Scholz猜想的进展
摘要：特殊形式的数字的最短加法链。取得粗糙的不等式 $iota(2^n-1)leq n+1+G(n)$，其中 $G:mathbb{N}longrightarrow mathbb{N}$ 是某个函数。特别地，我们得到了较弱的不等式 $iota(2^n-1)leq n+1+left lfloor frac{n-2}{2} ight floor$，其中 $iota(n)$ 是产生$n$的最短加法链的长度。此外，我们证明了一个不等式，将产生形式为$2^n-1$的数字的加法链的长度与产生其指数的最短加法链的长度关联起来。特别地，我们得到了不等式 $delta(2^n-1)leq n-1+iota(n)+G(n)$，其中 $delta(n)$ 和 $iota(n)$ 分别表示一个加法链和产生$n$的最短加法链的长度，其中 $K:mathbb{N}longrightarrow mathbb{R}$。我们还得到了一个更明确的上界形式 $delta(2^n-1)lesssim n+iota(n)+frac{n}{log n}+1.3log nint limits_{2}^{frac{n-1}{2}}frac{dt}{log^3t}+xi(n)$，其中 $xi:mathbb{N}longrightarrow mathbb{R}$。因此，我们得到了不等式 $iota(2^n-1)lesssim n+iota(n)+frac{n}{log n}+1.3log nint limits_{2}^{frac{n-1}{2}}frac{dt}{log^3t}+xi(n)$。通过使用稍微改进的迭代方法和对形式为$2^n-1$的数字的因子使用“洞穴”方法，我们证明了更强的不等式 $iota(2^n-1)leq n+1-sum limits_{j=1}^{lfloor frac{log n}{log 2} floor}xi(n,j)+3lfloorfrac{log n}{log 2} floor$，对于所有$nin mathbb{N}$且$ngeq 64$，其中$0leq xi(n,j)<1$，其中$iota(cdot)$表示产生$cdot$的最短加法链的长度。这个不等式比$r=2^n-1$的情况下的不等式$iota(r) 作者：Theophilus Agama 论文ID：2108.07720 分类：General Mathematics 分类简称：math.GM 提交时间：2023-08-21