自由随机变量的普适性：非交换有理函数的原子
摘要：自由迹算子代数设置中，考虑一个元组$(Y_1,\dots,Y_d)$，其对于每个$Y_i$拥有预设的特征空间大小。我们探讨了对于任意非交换多项式$P(Y_1,\dots,Y_d)$，关于这些算子的特征空间大小能够得到什么样的结论。我们证明了对于每个多项式$P$，存在不可避免的特征空间，在任意满足前述边缘特征空间的$(Y_1,\dots,Y_d)$中，这些特征空间会出现在$P(Y_1,\dots,Y_d)$中。我们将在代数层面描述这种最小情况，其中通过自由斜域上的矩阵实现，并通过秩计算，还会在解析层面描述这种最小情况，其中通过具有预设原子的自由独立随机变量的分布来实现。后一种情况与该最小情况的对应使得我们能够得出关于自由变量多项式中原子的许多新结论。特别地，我们给出了自由对易子和自由反对易子中原子的完整描述。此外，我们的结果不仅适用于多项式，而且更一般地适用于非交换有理函数。由于许多随机矩阵模型在大$N$极限下变得渐进自由，我们的结果使得我们能够计算在随机旋转矩阵中多项式和有理函数的渐进特征值分布中原子的位置和大小。
作者：Octavio Arizmendi, Guillaume C''ebron, Roland Speicher and Sheng Yin
论文ID：2107.11507
分类：Operator Algebras
分类简称：math.OA
提交时间：2022-05-23