每个闭包算子都会引出一个拓扑结构，反之亦然（“儿童版”）
摘要：在理解初等拓扑层范畴上的层之前，了解一个拓扑(劳维尔-蒂尔尼)在层范畴上导出一个闭包算子，以及反过来，是一个主要的前提。通常这个标准定理以相对简洁的方式呈现，大部分细节留给读者自己推导，并且对于如何直观地理解一些最难的公理和证明没有任何提示。 这些笔记首先以一种详细且形象的方式呈现了这个标准定理，遵循"关于在范畴论中绘制缺失图表的我最喜欢的约定" [Ochs2020]中的惯例；特别是一些性质，比如由pullback稳定性的形状总是相同。 其次，这些笔记也是在进行"典型案例"证明的实验，这种方式使得所有证明都很容易推广到"一般情况"。我们的第一个典型案例是"具有内涵"的拓扑。这是[Lambek/Scott 1986]中"具有规范子对象"的变体；形如$mathbf{Set}^mathbf{C}$的所有形式的拓扑层均具有内涵，而且当我们处理具有内涵的拓扑层时，诸如子集和交集之类的概念很容易形式化。我们对具有内涵的拓扑层中的闭包算子和拓扑之间的对应关系进行了所有证明，然后展示了如何将所有证明推广到适用于任何拓扑层的证明。我们的第二个典型案例是形如$mathbf{Set}^mathbf{D}$的拓扑层，其中$mathbf{D}$是一个有限的双列图。我们展示了一种可视化所有$mathbf{Set}^mathbf{D}$形式的LT-拓扑的方法，并定义了一种正式的方式来"为关于拓扑层的证明添加视觉直觉"；这与解释在"关于在范畴论中绘制缺失图表的我最喜欢的约定"中所解释的"为儿童进行范畴论"的几种技术相关。
作者：Eduardo Ochs
论文ID：2107.11301
分类：Category Theory
分类简称：math.CT
提交时间：2021-07-26