深度四的受限算术电路的功能下界
摘要：对于特定的 n ，存在一个明确的、 d^{O(1)} 变量和 d 度的多项式 P_d ，使得如果任何计算有限个数次幂和的多项式的有界形式度 d 的深度四电路 C 等效于 P_d ，则 C 必须具有大小 2^{Ω(√d log d)}。论文的动机来自于布尔电路复杂性。根据 Yao （1985 年）和 Beigel 和 Tarui （1994 年）对 ACC^0 电路的刻画，Forbes、Kumar 和 Saptharishi（2016 年）观察到 ACC^0 中的函数也可以通过代数 Sigmamathord{wedge}SigmaPi 电路（即，多项式幂的和）的形式计算，且大小为 2^{log^{O(1)}n}。因此，他们认为对于明确的多项式 Q 对于 Sigmamathord{wedge}SigmaPi 电路的 "功能" 下界将暗示对于 ACC^0 的 "对应布尔函数" 的下界。在他们的工作中，他们问是否可以将他们的下界扩展到 Sigmamathord{wedge}SigmaPi 电路。在本文中，对于满足 omega(log^2n)≤d≤n^{0.01} 的大整数 n 和 d ，我们证明任何度数不超过 O(∫frac{d}{k^2})的 Sigmamathord{wedge}SigmaPi 电路，在对于集合 {0,1}^{n^2d} 上功能计算迭代矩阵乘法多项式 IMM_{n,d}（在 VP 中）时，必须具有大小 n^{Ω(k)}。由于在集合 {0,1}^{n^2d} 上的迭代矩阵乘法 IMM_{n,d} 的最佳界是 GapL，因此改进上述下界以适应指数大小的个别度将推断出 ACC^0 与 GapL 之间的精细分离。
作者：Suryajith Chillara
论文ID：2107.09703
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2021-07-22