欧几里德空间中的贪心跨度生成器接受亚线性分隔符
摘要：在低维欧氏空间中，贪婪的架梁是一种基本的几何构造，在过去三十年中得到广泛研究，因为它具有两个最基本的良好架梁特性：最大度数恒定和轻度恒定。最近，Eppstein和Khodabandeh证明了在$mathbb{R}^2$中的贪婪的架梁具有次线性分离器，具体表现为：贪婪的架梁中$k$个顶点的任何子图都有$O(sqrt{k})$大小的分离器。然而，他们的技术仅适用于平面，并不能扩展到高维空间。他们将在$mathbb{R}^d$中的贪婪的架梁存在一个小分离器的问题留作未解决的问题。本文通过证明在$mathbb{R}^d$中的贪婪的架梁中，任何$k$个顶点的子图都具有大小为$O(k^{1-1/d})$的分离器，从而解决了Eppstein和Khodabandeh的问题。我们引入了一个新的技术，为具有一个次线性分离器的任何几何图给出了一个简单的刻画，我们称之为$au$-瘦：一个几何图是$au$-瘦的，如果半径为$r$的任何球在图中至多切断了$au$条长度至少为$r$的边。我们证明，在$mathbb{R}^d$中具有$n$个顶点的$au$-瘦的几何图具有大小为$O(au n^{1-1/d})$的分离器。然后，我们通过证明贪婪的架梁是$O(1)$-瘦的来得到我们的主要结果。我们的结果也适用于单位球图和低分形维度的点集在$mathbb{R}^d$中。我们的技术自然地扩展到倍增度量空间。我们利用$au$-瘦属性证明了对于维度为$d$的倍增距离度量空间，存在一个$(1+epsilon)$-架梁，其最大度数为常数，且具有大小为$O(n^{1-frac{1}{d}})$的分离器；这个结果解决了Abam和Har-Peled在十年前提出的一个未解问题。
作者：Hung Le and Cuong Than
论文ID：2107.06490
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2021-12-07