对称函数的更小ACC0电路
摘要：用$MOD\_m$门的恒定深度电路的能力,能够计数模$m$吗？它们能有效地计算多数和其他对称函数吗？当 $m$ 是一个常数素数幂时，答案是众所周知的：Razborov和Smolensky在1980年代证明了 MAJORITY 和$MOD\_m$需要超多项式大小的$MOD\_q$ 电路，其中 $q$ 是不被$m$整除的任何素数幂。然而，对于非素数幂 $m$ 的$MOD\_m$ 电路的能力了解甚少。例如，现在仍然未知在仅使用$MOD\_6$ 门的多项式大小和仅有三层深度的电路中是否可以计算$EXP$中的每个问题。我们通过给出新的上界来探讨证明$MOD\_m$ 电路的下界的困难程度。我们构造了使用非素数幂$m$的$MOD\_m$ 电路来计算对称函数，并且我们的电路的尺寸-深度折衷超过了用于素数幂 $m$ 的 $AC^0[m]$ 电路的已知下界。我们的尺寸-深度折衷电路在幂次上对$m$ 和 $d$ 做了最优的依赖，基于一个自然的电路复杂度假设。例如，对于每个$\varepsilon > 0$，我们证明了每个对称函数可以使用$exp(O(n^{\varepsilon}))$ 大小的深度为3的$MOD\_m$电路计算，其中常数$m$仅依赖于$\varepsilon > 0$。这意味着深度为3的$CC^0$电路可以以亚指数大小计算任何对称函数。这显示了深度为3的$CC^0$电路与其他模型的能力存在明显差异：对于特定的对称函数，深度为3的$AC^0$电路需要$2^{Omega(\sqrt{n})}$的大小，深度为3的$AC^0[p^k]$电路（对于固定的素数幂$p^k$）需要$2^{Omega(n^{1/6})}$的大小。即使对于深度为2的$MOD\_p \circ MOD\_m$电路，已知存在$2^{Omega(n)}$的下界。
作者：Brynmor Chapman and Ryan Williams
论文ID：2107.04706
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2021-07-13