无质量Dirac算符的极限吸收原理、谱移函数的性质以及其在非Fredholm算符的Witten指标中的应用
摘要：自由无质量狄拉克算子$H_0= \alpha \cdot (-i \nabla)$在$[L^2(\mathbb{R}^n)]^N$（$n\geq 2$，$N=2^{\lfloor(n+1)/2\rfloor}$）中的任何紧区间上导出了一个极限吸收原理，然后证明了相互作用的无质量狄拉克算子$H=H_0+V$的奇异连续谱的不存在性，其中$V$的衰减形式为$O(|x|^{-1-\epsilon})$。通过将谱位移函数$\xi( \cdot, \cdot; H,H_0)$表达为正规化Fredholm行列式的边界值，我们证明对于足够衰减的$V$，$\xi( \cdot, \cdot; H,H_0) \in C((- \infty, 0) \cup (0, \infty))$，并且在零点处的左极限和右极限$\xi(0_{\pm}; H,H_0)$存在。引入非Fredholm算子$\tilde{D}_{\tilde{A}}= \frac{d}{dt} + \tilde{A}$在$L^2(\mathbb{R};[L^2(\mathbb{R}^n)]^N)$中，其中$\tilde{A}=\tilde{A}_- + \tilde{B}$，$\tilde{A}_-$和$\tilde{B}$由$H, H_0$和$V$生成，通过$A(t) = A_- + B(t)$，$A_- = H_0$，$B(t) = b(t)V$，$t \in \mathbb{R}$，假设$b$是光滑函数，$b(-\infty)=0$，$b(+\infty)=1$，并引入$\tilde{H}_1= \tilde{D}_{\tilde{A}}^* \tilde{D}_{\tilde{A}}$，$\tilde{H}_2= \tilde{D}_{\tilde{A}} \tilde{D}_{\tilde{A}}^*$，本文中的一个主要结果将$k$阶共振态正规化Witten指标$W_{k,r}(\tilde{D}_{\tilde{A}})$（$k \in \mathbb{N}$，$k\geq \lceil \frac{n}{2} \rceil$）用谱位移函数表示为： $W_{k,r}(\tilde{D}_{\tilde{A}}) = \xi(0_+; \tilde{H}_2, \tilde{H}_1) = \frac{1}{2}(\xi(0_+;H,H_0)+\xi(0_-;H,H_0))$。 这里$L^2(\mathbb{R};\mathcal{H}) = \int_{\mathbb{R}}^{\oplus} dt \mathcal{H}$和$\tilde{T} = \int_{\mathbb{R}}^{\oplus} dt T(t)$简写为直积。
作者：Alan Carey, Fritz Gesztesy, Galina Levitina, Roger Nichols, Fedor Sukochev, and Dmitriy Zanin
论文ID：2105.03024
分类：Spectral Theory
分类简称：math.SP
提交时间：2021-05-10