单向通信复杂度和非自适应决策树
摘要：关于一个复合函数的各种单向通信复杂度度量与外部函数的相应决策树复杂度之间的关系进行研究。我们考虑两个小工具：2个输入的AND函数和恒定数量输入的内积。让$IP$表示$2b$位的内积。 -如果$f$是一个完全依赖于其所有输入的布尔函数，则$f circ IP$的有界误差的一次量子通信复杂度等于$Omega(n(b-1))$。 -如果$f$是一个部分布尔函数，则$f circ IP$的确定性一次通信复杂度至少为$Omega(b cdot D_{dt}^{rightarrow}(f))$，其中$D_{dt}^{rightarrow}(f)$表示$f$的非自适应决策树复杂度。 Montanaro和Osborne [arXiv'09]观察到$f circ XOR_2$的确定性一次通信复杂度等于$f$的非自适应奇偶决策树复杂度。相比之下，我们使用器件$AND_2$展示了以下结果。 -存在一个函数，即使$f circ AND_2$的量子非自适应AND决策树复杂度在$f$的确定性一次通信复杂度中也会呈指数增长。 -对于对称函数$f$，$f$的非自适应AND决策树复杂度至多是$f circ AND_2$的(甚至是两向)通信复杂度的二次方。 鉴于第一个观点，对$f$的非自适应AND决策树复杂度的下界并不能提升对$f circ AND_2$的一次通信复杂度的下界。在我们的最后一个结果中，我们证明对于所有$f$，$F = f circ AND_2$的确定性一次通信复杂度最多是$(rank(M_{F}))(1 - Omega(1))$，其中$M_{F}$表示$F$的通信矩阵。这表明一次通信复杂度的秩上界（在一般情况下可能是紧的）对于AND复合函数并不是紧的。
作者：Nikhil S. Mande, Swagato Sanyal, Suhail Sherif
论文ID：2105.01963
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2022-01-19