寻找三角形或独立集合
摘要：重新考虑在图中找到一个三角形的算法问题（三角形检测），并研究它与其他问题如三数之和和独立集的关系。 （I）给定一个具有$n$个顶点和$m$条边的图$G = (V, E)$，我们提出了一个随机算法，用高概率计算$G$中三角形的数量的近似，并找到一个证明。作为一个应用，我们限制了Pv{a}trac{s}cu（2010）关于三角形检测问题的猜想的范围。 （II）我们提出了一个算法，给定一个图$G = (V, E)$在$O(m+n)$（即线性）时间内执行以下任务之一：（i）在$G$中计算一个最大独立集的$Omega(1/sqrt{n})$-近似值，或（ii）在$G$中找到一个三角形。该算法的运行时间比以前的任何方法都要快。 （III）假设$G = (V, E)$是一个具有$n$个顶点和$m$条边的图。我们考虑用于回答独立集查询的数据结构，查询形式为：给定一个子集$U \subset V$，$U$是否独立？我们给出了一个候选数据结构的简单实现。假设三角形检测的下边界假设如同现有算法所暗示的那样，我们得到了回答独立集查询的条件下界。 （IV）第二个结果提出了以下更广泛的研究方向：如果分别找到（A）或（B）很困难，那么是否能够高效地找到其中一个？这激发了我们引入的“对偶对”概念。我们讨论并提供了几个对偶对近似的实例。
作者：Adrian Dumitrescu
论文ID：2105.01265
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-08-01