将紧致哈密顿$mathbb{S}^1$空间扩展为具有四维轻微退化的可积系统
摘要：任意给定紧连通的四维辛流形$(M, \omega)$和生成有效$mathbb{S}^1$作用的光滑函数$Jcolon M o mathbb{R}$，我们证明存在光滑函数$Hcolon M o mathbb{R}$，使得$(M, \omega, (J,H))$是我们称之为超半单积分系统的完全（Liouville）可积系统，其中的奇点除了一些有限个家族被称为抛物线（也有时称为尖点）的相对温和类型的退化点之外都是非退化的。这样的$(M, \omega, J)$通常被称为Hamiltonian $mathbb{S}^1$-space（由Karshon于1999年分类），我们称任何形式为$(M, \omega, (J,H))$的可积系统为$(M, \omega, J)$的扩展。基于这个术语，我们的主要结果是任何Hamiltonian $mathbb{S}^1$-space都可以扩展为一个超半单积分系统。 我们还证明存在Hamiltonian $mathbb{S}^1$-space，其中任何扩展都必须包括至少一个退化奇点。抛物线点是最常见和自然的退化点之一，因此从这个意义上说，超半单系统是所有Hamiltonian $mathbb{S}^1$-space可以扩展到的“最好”类型的系统。 我们还证明了关于这些系统的几个基础结果，比如双曲正则点回路的不存在以及它们的纤维的一些性质。
作者：Sonja Hohloch and Joseph Palmer
论文ID：2105.00523
分类：Symplectic Geometry
分类简称：math.SG
提交时间：2022-06-15