矩阵链乘法和多边形三角剖分的再次审视与泛化
摘要：矩阵链乘法问题的时间分析一直是一个经典的问题，在动态规划中被广泛教授。教科书上的解法时间复杂度为$O(n^3)$。然而，基于三角化凸多边形的复杂方法(HU82)提出了一个复杂度为$O(n log n)$的方法，同时也提出了一个简化版本(HU82)的$O(n^2)$时间复杂度的方法，但没有给出证明或实现细节。此外，还有一种具有小的最坏情况误差界限的线性时间近似算法(HU-SHING1981)。本文在理论和教育方面做出了五项贡献：1）我们简化了(YAO82)中的方法，并提供了完整、正确的证明和实现细节，从而建立了$O(n^2)$时间复杂度的方法。我们认为这个解释足够简单，适合用于课堂教学。2）我们将$O(n^2)$时间复杂度的方法扩展到了一个自然的多边形三角化问题类，该类问题是对(HU82)中原始多边形三角化问题的扩展。3）我们证明了(YAO82)中的方法以及我们的方法的最坏情况运行时间为$Theta(n^2)$。4）我们证明了在原始多边形三角化问题的一个自然变体中，(HU-SHING1981)的近似方法不能达到相同的误差界限，但可以达到原误差界限的两倍。5）我们详细介绍了实证测试的结果，表明在随机数据上，我们的方法的运行时间为$Theta(n log n)$，而(YAO82)的方法的实际运行时间为$Theta(n^2)$。这些测试的软件已经在网上发布。
作者：Thong Le and Dan Gusfield
论文ID：2104.01777
分类：Discrete Mathematics
分类简称：cs.DM
提交时间：2021-04-06