遗传刚性、分离和密度：纪念I.G. Rosenberg教授
摘要：关于线性划分的系统的本质刚性关系的研究继续进行，这个研究是在Couceiro、Haddad、Pouzet和Sch"olzel的文章[1]中开始的。我们观察到，在一个有m个元素的集合V上，如果存在一个由n个锦标赛组成的本质刚性集合$mathcal R$，则必须满足$m(m-1)leq 2^n$。我们想知道当锦标赛被线性序替代时，是否相同的不等式成立。这个问题可以用线性序的分割等价的方式来表达。让$h_{m Lin}(m)$成为最小的基数n，使得存在一个m元素集合V上的n个线性序列$mathcal R$，使得V中的任意两个不同元素的有序对都被$mathcal R$中的某个元素分割。那么$ lceil log_2 (m(m-1))rceil leq h_{m Lin}(m)$，当$mleq 7$时等号成立。我们想知道对于任意的m，等式是否成立。我们证明$h_{m Lin}(m+1)leq h_{m Lin}(m)+1$。如果V是无限的，则当$mleq 2^{aleph_0}$时，我们可以证明$h_{m Lin}(m)= aleph_0$。更一般地，我们证明了两个等式$h_{m Lin}(m)= log_2 (m)= d({m Lin}(V))$成立，其中$log_2 (m)$是使得$mleq 2^mu$的最小基数$mu$，而$d({m Lin}(V))$是线性序集合${m Lin}(V)$（视为具有乘积拓扑的幂集$mathcal{P}(Vtimes V)$的子集）的拓扑密度。这些等式可以从广义连续假设推导出来，但我们不知道是否在没有任何集合理论假设的情况下它们成立。
作者：Lucien Haddad, Masahiro Miyakawa, Maurice Pouzet, Hisayuki Tatsumi
论文ID：2104.00292
分类：Discrete Mathematics
分类简称：cs.DM
提交时间：2021-04-02