高斯空间中的随机限制和PTFs的PRGs
摘要：高斯空间中多项式阈值函数（PTF）$f：\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 的形式为$f(x) = \mathsf{sign}(p(x))$ ，其中 $p$ 是最多是 $d$ 次的多项式。PTFs 是经典且广泛研究的复杂性类，应用于复杂性理论，学习理论，逼近理论，量子复杂性等各个领域。我们解决了在高斯空间中设计多项式阈值函数（PTFs）的伪随机生成器（PRG）的问题：设计一个 PRG，它接受少数随机位的种子，并输出一个 $n$ 维向量，其分布与标准多元高斯分布在度为 $d$ 的 PTF 下无法区分。 我们的主要结果是一个 PRG，它接受 $d^{O(1)}\log ( n / \varepsilon)\log(1/\varepsilon)/\varepsilon^2$ 随机位的种子，并且其输出不能被度为 $d$ 的 PTFs 以优势 $\varepsilon$ 区分为 $n$ 维高斯分布。先前最好的生成器由 O'Donnell，Servedio 和 Tan 提出（STOC'20），其在度 $d$ 上有准多项式依赖（即种子长度为 $d^{O(\log d)}$）。在此过程中，我们还证明了一些关于 PTFs 限制的几乎紧致性质，可能具有独立的兴趣。
作者：Zander Kelley, Raghu Meka
论文ID：2103.14134
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2021-11-30