使用Cantor空间的覆盖与划分
摘要：什么样的拓扑空间可以被 Cantor 空间 $2^\omega$ 划分？一个显然的必要条件是，只有当一个空间可以被 $2^\omega$ 的副本覆盖时，它才可以被 $2^\omega$ 的副本划分。我们证明了关于这个必要条件何时也是充分条件的三个定理。 如果 $X$ 是一个可度量空间且 $|X| \leq \mathfrak{c}^{+\omega}$（最小的极限基数$>!\mathfrak{c}$），那么当且仅当 $X$ 可以被 $2^\omega$ 的副本覆盖时，$X$ 可以被 $2^\omega$ 的副本划分。为了证明这个基数上界是尖锐的，我们构造了一个大小为 $\mathfrak{c}^{+(\omega+1)}$ 的可度量空间，它可以被 $2^\omega$ 的副本覆盖，但不能被 $2^\omega$ 的副本划分。 类似地，如果 $X$ 是第一可数的且 $|X| \leq \mathfrak{c}$，那么当且仅当 $X$ 可以被 $2^\omega$ 的副本覆盖时，$X$ 可以被 $2^\omega$ 的副本划分。另一方面，存在一个大小为 $\mathfrak{c}^+$ 的第一可数空间，它可以被 $2^\omega$ 的副本覆盖，但不能被 $2^\omega$ 的副本划分。 最后，我们证明当且仅当一个完全可度量空间可以被 $2^\omega$ 的副本覆盖时，它可以被 $2^\omega$ 的副本划分，当且仅当它没有孤立点。
作者：Will Brian
论文ID：2103.05725
分类：General Topology
分类简称：math.GN
提交时间：2021-09-09