实数加法理论中可定义性问题的可决定性
摘要：与$X \subseteq \mathbb{R}^{n}$的子集相关联，我们可以将每个点$x \in \mathbb{R}^{n}$与一个具有最大维度的向量空间$V$关联起来，并且具有以下特性：对于以$x$为中心的某个球，子集$X$在球内与一组与$V$平行的线的并集相重合。如果$V$的维度为$0$，则该点为奇异点。在之前的论文中，我们证明了如果一个$(\mathbb{R}, +, <, \mathbb{Z})$-可定义关系$X$实际上可以在$(\mathbb{R}, +, <, 1)$中定义，那么奇异点的数量是有限的，并且$X$的每个有理截面都是$(\mathbb{R}, +, <, 1)$-可定义的，其中有理截面是通过将某个分量固定为有理值而得到的集合。在这里，我们展示了我们可以摒弃$X$是$(\mathbb{R}, +, <, \mathbb{Z})$-可定义的假设，而假设奇异点的分量是有理数。这提供了对于$(\mathbb{R}, +, <, 1)$结构中一阶可定义性的拓扑特征描述。它还允许我们提供一个适用于广泛类别的关系的$(\mathbb{R}, +, <, 1)$-和$(\mathbb{R}, +, <, \mathbb{Z})$-可定义性的自我定义准则（按照Muchnik的术语），如果相应理论是可判定的，则该准则将变为一个有效准则。特别是这些结果适用于实数上的$k-$可识别关系的类别，并且允许我们证明对于每个基数$l \geq 2$，一个$k-$可识别关系（任何关系的度）是否可判定为$l-$可识别。
作者：Alexis B`es and Christian Choffrut
论文ID：2102.06160
分类：Logic
分类简称：math.LO
提交时间：2023-06-22