关于稀疏多项式的精确除法和可整除性测试
摘要：稀疏多项式G是否能整除另一个稀疏多项式F的问题没有已知的多项式时间算法。虽然在F、G和商Q的稀疏性上能在多项式时间内计算商Q，但这还不足以获得一般情况下的多项式时间可除性检验。事实上，商Q的稀疏性可能比F和G的稀疏性指数级更大。在商的稀疏性#Q是多项式的有利情况下，计算商Q的已知最好算法的复杂性中有一个非线性因子#G#Q，这是不最优的。 在本工作中，我们对这个问题的两个方面感兴趣。首先，我们提出了一个新的随机算法，用于计算两个稀疏多项式在除法精确时的商。其复杂性几乎是F、G和Q的稀疏性的线性函数。我们的方法基于稀疏插值，并且适用于任何有限域或整数环。然后，作为更快速的可除性测试的一步，我们提供了一种特定形状的除数的多项式时间算法。更具体地说，我们把问题转化为找到一个多项式S，使得QS是稀疏的，并且可以在多项式时间内进行S的可除性检验。我们确定了除数G中一些结构模式，可以高效地计算出这样的多项式S。
作者：Pascal Giorgi, Bruno Grenet, Armelle Perret du Cray
论文ID：2102.04826
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2021-07-21