PTOPO：计算参数曲线的几何和拓扑
摘要：计算参数曲线在$mathbb{R}^n$中的拓扑和几何描述的问题。我们提出了一个算法PTOPO，它构造了一个在嵌入空间中与曲线同胚的抽象图形。我们的方法利用了参数表示的优势，并且不会使用隐式化。最重要的是，我们在参数空间中进行所有计算，而不是在隐式空间中。当参数化涉及到最高为$d$的多项式和系数的最大位数为$au$时，PTOPO的最坏情况比特复杂度为$\tilde{\mathcal{O}}_B(nd^6+nd^5au+d^4(n^2+nau)+d^3(n^2au+n^3)+n^3d^2au)$。这个界限与计算给定隐式形式下的平面代数曲线的拓扑的当前记录界限$\tilde{\mathcal{O}}_B(d^6+d^5au)$相匹配。对于平面和空间曲线，如果$N = \max(d, au)$，PTOPO的复杂性变为$\tilde{\mathcal{O}}_B(N^6)$，这个结果比Alc''azar和D''iaz-Toca[CAGD'10]的最新结果提升了$N^{10}$倍。在相同的时间复杂性下，我们得到了一个直线嵌入与曲线同胚的图形。然而，在抽象图形构造之上可视化曲线会增加界限为$\tilde{\mathcal{O}}_B(N^7)$。对于一般维度的曲线，我们还可以通过使用Blasco和P''erez-D''iaz[CAGD'19]的算法，在PTOPO的相同预期复杂性中区分普通和非普通实奇点，并确定它们的重数。我们在Maple中实现了平面和空间曲线的PTOPO。我们的实验表明它的实用性。
作者：Christina Katsamaki, Fabrice Rouillier, Elias Tsigaridas
论文ID：2101.01925
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2022-02-18