关于有限个投影的求和与Dixmier平均定理在类型${m II}_1$因子上的应用
摘要：关于权重为正规的忠实的轨迹状态$au$的$mathcal{M}$为类型II1的因子，本文证明了，给定一个$Xin mathcal{M}$，$X=X^*$，则存在对角线彼此正交的非零投影$E_jin mathcal{M}$（其中$j=1, \ldots, N$）的单位矩阵分解$I=sum_{j=1}^{N}E_j$，使得对于所有$j=1, \ldots, N$，都有$E_jXE_j=au(X) E_j$。等价地，存在一个单位算子$Uin mathcal{M}$满足$U^N=I$且$frac{1}{N}sum_{j=0}^{N-1}(U^*)^jXU^j=au(X)I$。作为一个应用，我们证明了如果一个正算子$Ain mathcal{M}$可以写成$mathcal{M}$中投影的有限和，当且仅当$au(A)geq au(R_A)$，其中$R_A$是$A$的范围投影。这个结果肯定了[9]中问题6.7的答案。作为第二个应用，我们证明了如果$Xin mathcal{M}$，$X=X^*$且$au(X)=0$，那么存在零幂次元素$Zin mathcal{M}$，使得$X$是$Z$的实部。这个结果确实回答了[4]的问题1.1。作为第三个应用，我们证明了对于给定的$X_1, \ldots, X_nin mathcal{M}$，存在单位算子$U_1, \ldots, U_kin mathcal{M}$，使得$frac{1}{k}sum_{i=1}^{k}U_i^{-1}X_jU_i=au(X_j)I,forall 1leq jleq n$。这个结果是类型II1的因子的Dixmier平均定理的一个更强版本。
作者：Xinyan Cao, Junsheng Fang, Zhaolin Yao
论文ID：2012.00440
分类：Operator Algebras
分类简称：math.OA
提交时间：2021-05-18