随机简单时态图中的尖锐阈值
摘要：随机时间图中的时间可达性显示出一系列惊人的阈值。特别地，我们证明在$p=\log n/n$的情况下，任意固定的顶点对几乎总是能够互相到达；在$p=2\log n/n$的情况下，至少一个顶点（实际上是任意固定的顶点）几乎总是能够到达其他所有顶点；在$p=3\log n/n$的情况下，所有顶点几乎总是能够互相到达，即图是时间连通的。此外，一旦图变得时间连通，它同时也能够形成一个大小为$2n+o(n)$的时间展开器，这几乎是最优的，因为$2n-4$是下界。这个结果的重要之处在于一般情况下时间图不具备大小为$O(n)$的展开器（Kempe等人，STOC 2000）。事实上，它们甚至不具备大小为$o(n^2)$的展开器（Axiotis等人，ICALP 2016）。因此，我们的结果意味着在随机时间图中，那些存在于先前研究中的障碍，以及更一般地，所有非微不足道的障碍，都必须是统计上不显著的：几乎总是存在最优的展开器。所有上述阈值都是尖锐的。进一步研究时间展开器，我们证明了关键展开器存在于$p=4\log n/n$时（它由两个在一个顶点处粘接的生成树组成，一个按时间降序，另一个按时间升序），这个阈值也是尖锐的。最后，我们证明了在$p=4\log n/n$时几乎总是存在最优的展开器（大小为$2n-4$）。
作者：Arnaud Casteigts, Michael Raskin, Malte Renken, Viktor Zamaraev
论文ID：2011.03738
分类：Discrete Mathematics
分类简称：cs.DM
提交时间：2021-09-13