无理数$Theta$-变形CAR $C^*$-代数的分类
摘要：给定一个反对称的实$n \times n$矩阵$Theta$，我们考虑由$a_1, \ldots, a_n$生成的$*$-代数生成的通用包络$C^*$-代数$mathsf{CAR}_Theta$，它满足以下关系： \[a_i^* a_i + a_i a_i^* = 1,\] \[a_i^* a_j = e^{2 \pi i \Theta_{i,j}} a_j a_i^*,\] \[a_i a_j = e^{-2 \pi i \Theta_{i,j}} a_j a_i.\] 我们证明了$mathsf{CAR}_Theta$具有一个$C(K_n)$-结构，其中$K_n = \left[0, \frac{1}{2}\right]^n$是超立方体，并描述了纤维。我们将$mathsf{CAR}_Theta$的不可约表示分类为一个更高维度的非交换托勒斯的不可约表示。我们证明，对于给定的无理反对称矩阵$Theta_1$，只有有限多个$Theta_2$使得$mathsf{CAR}_{Theta_1} \simeq mathsf{CAR}_{Theta_2}$。即，$mathsf{CAR}_{Theta_1} \simeq mathsf{CAR}_{Theta_2}$意味着$ (Theta_1)_{ij} = \pm (Theta_2)_{\sigma(i,j)} \text{mod} \mathbb{Z}$，其中$sigma$是集合${(i,j) : i < j, i, j = 1, \ldots, n}$的双射。对于$n=2$，我们给出了一个完全分类：$mathsf{CAR}_{Theta_1} \simeq mathsf{CAR}_{Theta_2}$当且仅当$Theta_1 = \pm Theta_2 \text{mod} \mathbb{Z}$。
作者：Alexey Kuzmin, Lyudmila Turowska
论文ID：2010.15660
分类：Operator Algebras
分类简称：math.OA
提交时间：2021-05-10