有向图着色与无环距离
摘要：$k$-Digraph Coloring: 强化结果和参数化复杂性的研究 摘要：在$k$-Digraph Coloring问题中，给定一个有向图并被要求将其顶点分成最多$k$个集合，使得每个集合诱导出一个有向无环图（DAG）。这个著名问题是NP难的，因为它推广了（无向）$k$-Coloring问题，但是如果输入有向图是无环的话，这个问题就变得很容易。这引出了自然的参数化复杂性问题：当输入是“几乎”无环时会发生什么。本文使用能够测量输入在有向或无向意义下离无环性的参数来研究这个问题。 已经知道，对于所有$k\ge 2$，在DFVS最多为$k+4$的有向图上，$k$-Digraph Coloring是NP难的。我们加强了这个结果，证明了对于所有$k\ge 2$，$k$-Digraph Coloring问题在DFVS为$k$时是NP难的。通过细化我们的缩减，我们得到了两个进一步的结论：（i）对于所有$k\ge 2$，在反馈弧集（FAS）最多为$k^2$的图上，$k$-Digraph Coloring是NP难的；有趣的是，我们展示了这导致了一种二分法，因为我们证明了如果FAS最多为$k^2-1$，那么该问题是FPT的；（ii）对于DFVS为$k$的图，即使最大度$Delta$最多为$4k-1$，$k$-Digraph Coloring问题也是NP难的；我们证明了这几乎是严格的，因为对于DFVS为$k$且$Delta\le 4k-3$的情况，该问题变为了FPT问题。 然后我们考虑用于测量基础图的离无环性的参数。我们展示了$k$-Digraph Coloring问题可以通过树宽进行参数化，其参数依赖性为$(tw!)k^{tw}$的FPT算法。然后我们提出了一个问题：能否消除$tw!$这个因子。在这部分中，我们主要的贡献是否定地解决了这个问题，并展示了我们的算法在本质上是最优的，即使对于更为局限的参数树深度和$k=2$的情况也是如此。具体来说，我们证明了解决$2$-Digraph Coloring问题的FPT算法，其依赖性为$td^{o(td)}$，将与ETH相矛盾。
作者：Ararat Harutyunyan, Michael Lampis, Nikolaos Melissinos
论文ID：2010.06317
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2022-01-04