随机截面和随机单纯形不等式
摘要：考虑某个凸体$K\subset \mathbb{R}^d$。假设$X_1, \dots, X_k$，$k\leq d$，是独立且均匀地在$K$中选择的随机点，而$\xi_k$是均匀分布的$k$维随机线性平面。我们证明对于$p\geq -d+k+1$，有$\mathbb{E}(|K\cap \xi_k|^{d+p})\leq c_{d,k,p}\cdot |K|^k, \mathbb{E}(|\mathrm{conv}(0,X_1,\dots,X_k)|^p)$，其中$|\cdot|$和$\mathrm{conv}$分别表示相应维度的体积和凸包。常数$c_{d,k,p}$满足当$k>1$时等号成立当且仅当$K$是以原点为中心的椭球，并且当$k=1$时，不等式变成等式。如果$p=0$，则不等式简化为Busemann交集不等式，如果$k=d$，则简化为Busemann随机单纯形不等式。我们还给出了这个不等式的仿射版本，类似地推广了Schneider不等式和Blaschke-Grömer不等式。
作者：Alexander E. Litvak, Dmitry Zaporozhets
论文ID：2007.06743
分类：Metric Geometry
分类简称：math.MG
提交时间：2022-02-08