$H$-自由图中独立集的参数化不可近似性
摘要：独立集合问题在$H$-free图中的研究，即在图中排除某个固定的图$H$作为诱导子图。我们证明了多项式时间和参数化算法的几个近似性结果。Halld''orsson [SODA 1995]证明了对于每个$delta>0$，在$K\_{1,d}$-free图中，IS问题有一个多项式时间$(frac{d-1}{2}+delta)$-近似解。我们通过证明$K\_{a,b}$-free图可以在多项式时间内获得$O(alpha(G)^{1-1/a})$-近似解来扩展该结果，其中$alpha(G)$是$G$中最大独立集的大小。此外，我们通过展示对于某个$gamma=Theta(d/log d)$，除非NP = ZPP，否则这些图没有多项式时间$gamma$-近似解来补充了Halld''orsson的结果。 Bonnet et al. [IPEC 2018]证明了以独立集大小$k$作为参数的IS问题在不包含（1）至少长度为$4$的常数长循环，（2）星形图$K\_{1,4}$，和（3）任何距离恒定的具有至少$3$个度的两个顶点的树的图上是W[1]-困难的。我们通过在几乎相同的图类上证明了三个近似性结果，加强了这个结果（我们减弱了条件（2）中$G$不包含$K\_{1,5}$）。首先，在ETH的假设下，对于任何可计算函数$f$，不存在$f(k)cdot n^{o(k/log k)}$的算法。然后，在确定性Gap-ETH的假设下，存在一个常数$delta>0$，使得无法在$f(k) cdot n^{O(1)}$的时间内计算出$delta$-近似解。同样，在更强的随机Gap-ETH下，不存在以$f(k)cdot n^{o(sqrt{k})}$的运行时间的近似算法。最后，我们考虑以排除图$H$为参数化的情况，并且证明在ETH假设下，IS在$H$-free图中没有$n^{o(alpha(H))}$的算法，在Gap-ETH假设下，对于具有$f(d,k) n^{O(1)}$运行时间的$K\_{1,d}$-free图，不存在$d/k^{o(1)}$-近似解。
作者：Pavel Dvov{r}''ak, Andreas Emil Feldmann, Ashutosh Rai, Pawe{l} Rzk{a}.zewski
论文ID：2006.10444
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2022-12-16