推广达文波特-马勒-米诺特界限 - 加权情况
摘要：根分离界限在理解计算代数中各种算法的行为中扮演着重要角色，例如根隔离算法。在单变量情况下，经典的结果是Davenport-Mahler-Mignotte（DMM）界限。一种表述该界限的方式是考虑到一个有向无环图$(V,E)$，其中$E$是度数为$d$的多项式$f(z) ∈ \mathbb{C}[z]$的根的部分集合，边从绝对值较小的根指向绝对值较大的根，且所有顶点的入度最多为1。然后DMM界限是以下乘积的平均下界：$prod\_{(α,η) \in E}|α-η|$。但是，该下界涉及到多项式$f$的判别式，并且如果多项式不是方根的话，则变得微不足道。这由Eigenwillig（2008）通过使用合适的子判别式来解决。Escorcielo-Perrucci（2016）通过使用有限差分理论进一步取消了图中的入度约束。Emiris等人（2019）将其结果推广到处理项$|α-η|$在乘积中的幂次至多为任一根的重数的情况。在本文中，我们通过允许图的边上的任意正整数权重来推广这些结果，即对于权重函数$w: E \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$，我们导出了对于$prod\_{(α,η) \in E}|α-η|^{w(α,η)}$的平均下界。这种乘积出现在一些最近的根聚类算法（例如Becker等人，2016）的复杂度估计中，其中权重通常是根的重数的某个函数。由于我们的界限是平均性质的，因此可以认为比通过调整现有结果以适应权重得到的界限更好。
作者：Vikram Sharma
论文ID：2005.07843
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2020-05-19