五次多项式与笛卡尔符号规则
摘要：无零系数的实系数多项式，根据笛卡尔符号规则（由傅立叶的观察完成），其正根数$pos$和负根数$neg$（包括重根）分别被其系数序列中的符号变化次数$c$和符号保持次数$p$主导，并且差值$c-pos$和$p-neg$是偶数。对于5次多项式，已经通过A. Albouy和Y. Fu的证明，不存在这样的多项式，其有三个不同的正根和没有负根，并且其系数的符号为$(+,+,-,+,-,-)$（或者有三个不同的负根和没有正根，并且其系数的符号为$(+,-,-,-,-,+)$）。对于5次多项式，当首项系数为正时，这些是满足笛卡尔符号规则的正根数和负根数（全部不同），以及系数符号的所有情况，但却不存在这样的多项式。我们通过展示多项式族$ x^5 + x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d $的判别集与坐标轴一起的图像来解释这种不存在性和其他所有情况下的存在性（其中d=5）。
作者：Hassen Cheriha, Yousra Gati, Vladimir Petrov Kostov
论文ID：2005.02064
分类：Classical Analysis and ODEs
分类简称：math.CA
提交时间：2023-03-14