关于无限连通平面域的保拓扩等形变同胚
摘要：广义Jordan区域$U$到平面区域$\Omega$的全纯同胚映射$\varphi$满足如下两个条件：（1）$\Omega$最多有可数个非简并边界分量，且它们的直径有一个有限和；（2）$\Omega$的简并边界分量或$U$的简并边界分量形成一个可测度的σ-有限集。我们证明，当且仅当$\Omega$的每个边界分量都是局部连通的时候，$\varphi$连续地延拓到$U$的闭包。这推广了Carathéodory连续性定理，并引出了一个新的对于著名的Osgood-Taylor-Carathéodory定理的推广。值得注意的有三个问题：首先，上述条件（1）和（2）中的任何一个都不能去掉。其次，$\Omega$或$U$的拓扑结构不再需要其他要求。因此，我们的结果对于非亏格区域仍然有效，并且不是从最近关于圆域的全纯刚性的推广结果中得到的。最后，当$\varphi$连续地延拓到$U$的闭包时，$\Omega$的边界是Peano紧致化。因此，我们还证明了以下性质对于任何平面区域$\Omega$是等价的：（1）$\Omega$的边界是Peano紧致化。（2）$\Omega$具有性质S。（3）$\Omega$的边界上的每个点都是局部可达的。（4）$\Omega$的边界上的每个点都是局部顺序可达的。（5）$\Omega$在边界上是有限连通的。（6）在Mazurkiewicz距离下，$\Omega$的补集是紧的。这为之前针对特殊情况的部分结果提供了新的推广，而这些结果需要对$U$或其边界的拓扑进行额外的假设。
作者：Jun Luo, Xiao-Ting Yao
论文ID：2002.08644
分类：Complex Variables
分类简称：math.CV
提交时间：2023-02-09