Diophantine集合类的和集与笛卡尔积的度量结果
摘要：任何实数可以表示为两个Liouville数的和和乘积，这是ErdH{o}s证明的。受这些结果的启发，我们研究具有指定（或有界）无理指数的实数类的和集。我们表明，这样的和集通常会很大，事实上，根据Lebesgue度量，几乎每个实数都可以被写成具有足够大的指定无理指数的两个数的和。实际上，其补集的Hausdorff维数很小，即使我们对有理逼近的次数施加了相当精细的条件（相对于逼近函数的“精确逼近”），结果仍然成立。作为应用，我们证明了在许多情况下，具有指定无理指数的集合的笛卡尔乘积的Hausdorff维数超过了预期的维数，即单个Hausdorff维数的总和。我们还研究了它们的填充维数。在与自然的Cantor度量相关的经典缺失数字Cantor集合中，类似的结果也成立。特别地，我们证明了具有指定大无理指数的数的子集具有完整的填充维数，即与整个Cantor集合相同的填充维数。这是对Diophantine逼近中广泛研究的这些集合的Hausdorff维数的补充。我们的证明基于ErdH{o}s的思想，但进行了大大的扩展。
作者：Johannes Schleischitz
论文ID：2002.08228
分类：Number Theory
分类简称：math.NT
提交时间：2023-08-29