小空间中随机行走的高精度估计
摘要：确定一种确定性的O(logN)空间算法，在无向图上估计随机行走概率，更一般地，在欧拉有向图上估计随机行走概率，误差为逆多项式增加($\epsilon = 1/\mathrm{poly}(N)$)，其中N为输入长度。以前，已知这个问题可以通过一个随机化算法在O(logN)空间内解决（根据Aleliunas等人的FOCS 79），并且可以通过一个确定性算法在O(log^{3/2}N)空间内解决（根据Saks和Zhou的FOCS 95和JCSS 99），这两种算法都适用于任意的有向图，但对于无向图尚未得到改进。当误差可以忽略时（$\epsilon = 1/N^{\omega(1)}$），我们还改进了这两种先前算法的空间复杂度，这是对Hoza和Zuckerman最近在FOCS 18中展示的关于区分随机行走概率是否为0或大于$\epsilon$的特殊情况进行推广。我们通过给出将欧拉随机行走矩阵带到零附件矩阵之间的新降低和逆欧拉拉普拉斯矩阵，提供欧拉图的新的谱逼近概念，而这个谱逼近在求幂下是保持不变的，并给出第一个确定性的O(logN)空间算法来求逆欧拉拉普拉斯矩阵。后者算法基于Murtagh等人的工作（FOCS 17），他们给出了一个确定性的O(logN)空间算法，用于求逆无向拉普拉斯矩阵，并且基于Cohen等人的工作（FOCS 19），他们给出了一个随机的O(N)时间算法，用于求逆欧拉拉普拉斯矩阵。贯穿这些贡献的一个主题是"循环提升图"的分析，我们将一个图"提升"到一个新的图，其邻接矩阵是原始邻接矩阵与一个有向循环（或其变体）的张量乘积。
作者：AmirMahdi Ahmadinejad, Jonathan Kelner, Jack Murtagh, John Peebles, Aaron Sidford, and Salil Vadhan
论文ID：1912.04524
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2022-03-14