使用快速线性代数计算有限维度中的合同关系
摘要：在有限维情况下，我们考虑计算多元多项式的零化器：对于一个有限维度为$D$的$mathbb{K}[X\_1,dots,X\_r]$模$mathcal{M}$，给定$mathcal{M}$中的元素$f\_1,dots,f\_m$，问题是计算$f\_i$之间的零化器，即在$mathbb{K}[X\_1,dots,X\_r]^m$中的多项式$(p\_1,dots,p\_m)$，使得$ p\_1 f\_1 + dots + p\_m f\_m = 0 $ 在$mathcal{M}$中。假设关于某个基础的$r$个变量的乘法矩阵对应$mathcal{M}$已知，我们提出了一种算法，用于计算这些零化器的模的约化Gr"obner基础，对于任意单项式排序，其使用$O(m D^{omega-1} + r D^omega log(D))$个操作在基础域$mathbb{K}$中，其中$omega$是矩阵乘法的指数。此外，假设$mathcal{M}$本身被表示为$mathcal{M} = mathbb{K}[X\_1,dots,X\_r]^n/mathcal{N}$，在对$mathcal{N}$施加某些假设的情况下，我们证明这些乘法矩阵可以从$mathcal{N}$的Gr"obner基础中计算出来，复杂度上界相同。特别地，取$n=1$，$m=1$且$f\_1=1$在$mathcal{M}$中，这就得到了一个关于单项式排序的改变算法，类似于FGLM算法，复杂度上界是$D$的次立方。
作者：Vincent Neiger, ''Eric Schost
论文ID：1912.01848
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2020-06-22