逼近多面体的组合复杂度的最优界限
摘要：如何简洁地用一个多维凸体来近似多维凸体的问题。给定单位直径的欧几里得$d$维空间中的凸体$K$（其中$d$是一个常数）和误差参数$\varepsilon>0$，目标是确定一个具有低组合复杂度的凸多面体，其与$K$的Hausdorff距离不超过$\varepsilon$。通过组合复杂度，我们指的是所有维度的面的总数。经典构造由Dudley和Bronshteyn/Ivanov展示，可以分别给出$O(1/\varepsilon^{(d-1)/2})$个facets或vertices，但是两者都不能同时满足这两个界限。在本文中，我们展示了通过$O(1/\varepsilon^{(d-1)/2})$组合复杂度构造多面体的方法，这在最坏情况下是最优的。 我们的结果基于凸体的$\varepsilon$-宽度帽和其对偶体之间的新关系。利用这个关系，我们能够得到一个关于“本质上不同”的近似帽的数量的体积敏感界限。通过结合这一点与见证收集器方法的变体以及经济帽覆盖的新定义厚度分层结构，我们实现了我们的主要结果。
作者：Rahul Arya, Sunil Arya, Guilherme D. da Fonseca, David M. Mount
论文ID：1910.14459
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2022-12-09