$mathrm{GL}(2,mathbb{Q})$中平坦有理子集的成员问题的可决性和奇异矩阵
摘要：有限驱动自动机(Finite-Driven Automation)在矩阵半群(Matrix Semigroups)中的有理集的成员问题(Member Problem)的研究 浅谈扁平有理集：对于半群M和其子半群N，M上关于N的扁平有理集是形式为$L_0g_1L_1 \cdots g_t L_t$的有限并集，其中$L_i \in Rat(N)$且$g_i \in M$。我们证明了在$GL(2,\mathbb{Q})$上的布尔组合的扁平有理子集的空集问题是可判定的。 由于下述二分法，以上结论可能无法推进：如果G是一个fg(有限生成)群，使得$GL(2,\mathbb{Z}) < G \leq GL(2,\mathbb{Q})$，那么要么$G \cong GL(2,\mathbb{Z}) \rtimes \mathbb{Z}^k$，要么G包含一个Baumslag-Solitar群的无穷指数扩展。在第一种情况下，对于G的有理子集的成员问题是可判定的。然而，在第二种情况下，对于成员问题的可判定性问题已经悬而未决多年。 后一事实成为我们关注扁平有理集的推动力。这似乎是一个自然的限制，使我们能够给出关于有理数系数的2x2矩阵新的可判定性结果。例如，我们证明在$GL(2,\mathbb{Q})$上关于$GL(2,\mathbb{Z})$的扁平有理子集的成员问题是指数时间可判定的，但如果我们对$GL(2,\mathbb{Z})$进行了行列式大于1的矩阵扩展，该问题则变为双指数时间可判定。我们还展示了涵盖奇异矩阵的扁平有理子集的成员问题的双指数时间界。
作者：Volker Diekert, Igor Potapov, and Pavel Semukhin
论文ID：1910.02302
分类：Formal Languages and Automata Theory
分类简称：cs.FL
提交时间：2023-08-28