一个收敛的带有不完全伽玛函数的艾里积分的展开式
摘要：一种基于最陡降法的新型Airy函数级数展开法在本文中提出，与文中引述的之前的研究中所提出的Hadamard展开相关，并且收敛于所有复变量的取值。Hadamard展开被引入作为最陡降法的延伸，并且通过大量非系统化的积分路径细分来定义。与之不同的是，在本次研究中展开的起因是将最陡降分割为有限而非极大数量的片段，并且可以根据支点的位置来定义。其中一个片段延伸至无穷，这导致了上不完全Gamma函数的存在。这与前述文献中定义的Hadamard级数是最重要的区别之一，前述文献中所有不完全Gamma函数均是下不完全型。新的级数展开的理论意义是双重的。首先，它展示了如何将渐近级数转化为具有有限最陡降路径分割的收敛级数。其次，作为Laplace类型方程的一部分，相位函数的倒数在支点周围进行Taylor展开，以产生必要时的Puiseux级数。此外，所提出的分析再次显示了Airy函数的斯托克斯现象与最陡降路径在$arg z = pm 2 pi/3$处从一个过渡到两个之间的关系。在计算应用方面，这些级数展开需要相对较少的项数，就可以达到非常高的精度。
作者：Jose Luis Alvarez-Perez
论文ID：1909.13394
分类：Classical Analysis and ODEs
分类简称：math.CA
提交时间：2023-07-18