线性算子谱的几何特征的计算在 Hilbert 空间上。
摘要：计算光谱是计算数学中的核心问题，具有丰富的应用于科学的应用。然而，在许多应用中，获得光谱的近似是不够的。通常确定谱的几何特征（如勒贝格测度，容量或分形维度，不同类型的谱半径和数值范围，或检测必要的谱间隙和有限截断法的失败）是至关重要的。尽管有关计算光谱和这些几何问题的兴趣越来越大，但目前仍没有能够计算无限维算子光谱的这些几何特征的一般方法。我们提供了首个能够计算许多这些长期存在问题（包括上述问题）的算法。通过计算示例证明，新算法提供了一套新方法的库。在无限维计算光谱问题方面的最新进展导致了可解性复杂度指数（SCI）层次结构，用于对计算问题的困难进行分类。这些结果揭示了无限维光谱问题产生了一种复杂的无限分类理论，决定哪些光谱问题可以解决，以及使用哪种类型的算法。这与斯马尔（S. Smale）在上世纪80年代发起的计算数学基础的全面计划密切相关。我们在SCI层次结构中对光谱几何特征的计算进行分类，从而使我们能够准确确定计算机（在任何计算模型中）可以实现的界限，并证明我们的算法是最优的。我们还提供了一种在SCI层次结构中建立下界的新通用技术，它既极大地简化了以前的SCI论证，又允许新的、以前无法达到的分类。
作者：Matthew J. Colbrook
论文ID：1908.09598
分类：Spectral Theory
分类简称：math.SP
提交时间：2022-09-20