通过可解性复杂性指数层次的光谱计算基础
摘要：计算操作符的谱的问题可以说是计算数学中最受关注的领域之一。然而，最近才解决了计算一般有界无限矩阵的谱的问题。我们通过可解性复杂度指数（SCI）层次结构建立了计算谱理论的一些基础，这种方法与Smale关于计算数学基础和McMullen关于有理映射的多项式根查找结果密切相关。无限维问题产生了一个复杂的无限分类理论，确定哪些谱问题可以通过什么类型的算法解决。我们提供了关于算法存在性的许多长期未决问题的答案。例如，我们表明可以从无界域上的大类偏微分算子的点采样操作符系数计算谱，同时具有误差控制。其他结果包括：通过具有误差控制的算法计算（可能是无界的）图上和可分的Hilbert空间上的操作符的谱；确定谱是否与一个紧致集相交；计算谱间隙问题和计算谱底部的谱分类；计算离散谱、重数、特征子空间、确定离散谱是否非空。此外，具有误差控制的正面结果可以用于计算机辅助证明。相反，负面结果排除了整个类别的操作符的计算机辅助证明。我们的证明是具有建设性的，提供了一套新的算法和处理之前无法解决的问题的技术。我们在具有挑战性的问题上演示了这些算法，通过与传统方法（例如"谱污染"）相比，给出了具体的失败示例来对比新技术。
作者：Matthew J. Colbrook and Anders C. Hansen
论文ID：1908.09592
分类：Spectral Theory
分类简称：math.SP
提交时间：2022-09-20