横切，对偶和无理旋转
摘要：非交换几何的一个早期结果是Connes在1980年代的观察，即Dirac-Dolbeault循环对于二维环面$\mathbb{T}^2$可以通过'量子化'来给出一个谱三元组和K-同调类$[A_\theta\otimes A_\theta,\mathbb{C}]$，从而为有理旋转代数$A_\theta$提供了一个Poincaré自对偶。自此以来，这个谱三元组得到了广泛的研究。然而，Connes的证明依赖于一个K-理论计算，并没有提供这个对偶的单位的代表圈。由于这种代表圈在对偶的应用中是至关重要的，我们在本文中以无界形式提供这样一个圈。我们的方法是通过使用Muhly、Renault和Williams的一个约化-到-横的论证来构造一个对于模量群的任意非平凡元素$g$，在线条斜率为$\theta$和$g(\theta)$之间的一对Kronecker流面上，利用这两个流面相互横截关系，并且使用这些流面是相互横截的事实，构造一个关于$A_\theta\otimes A_\theta$的有限生成投射模$\mathcal{L}_g$。然后我们计算$[mathcal{L}_g]$的Connes对偶，对于上三角的$g$，并证明我们获得了一个在$KK_0(A_\theta,A_\theta)$中可逆的元素，由可以被看作是非交换的Dirac-Schr"odinger算子的非交换丛表示。一个$mathbb{Z}$-等变的Bott周期性的应用证明了通过对这个模进行扭曲可以得到必要的谱圈单位，从而证明了$A_\theta$的自对偶性，其中单位和对偶由谱圈表示。
作者：Anna Duwenig and Heath Emerson
论文ID：1906.00079
分类：K-Theory and Homology
分类简称：math.KT
提交时间：2021-06-22