计算投影回归深度及其导致的中位数
摘要：回归深度的概念已经在文献中引入并进行了研究。最著名的例子是回归深度（Regression Depth，RD），它是定位深度在回归中的直接扩展。投影回归深度（Projection Regression Depth，PRD）是另一种盛行的定位深度，投影深度的扩展到回归。RD的计算问题已在文献中进行了讨论。PRD的计算问题以前从未处理过。现在解决了PRD和其诱导中位数（最大深度估计）在回归设置中的计算问题。对于给定的$s{eta}inR^p$，提出了PRD的精确算法，计算成本为$O(n^2log n)$（$p=2$）和$O(N(n, p)(p^{3}+nlog n+np^{1.5}+npN\_{Iter}))$（$p>2$），以及PRD及其诱导中位数的近似算法，计算成本分别为$O(N\_{mb{v}}np)$和$O(RpN\_{s{eta}}(p^2+nN\_{mb{v}}N\_{Iter}))$。这里$N(n, p)$是一个基于样本点和$s{eta}$导出的点形成的$(p-1)$维超平面的总数；$N\_{mb{v}}$是使用的单位方向$mb{v}$的总数；$N\_{s{eta}}$是使用的候选回归参数$s{eta}$的总数；$N\_{Iter}$是在优化算法中执行的迭代总数；$R$是复制的总数。此外，作为第二个主要贡献，引入了三个PRD诱导估计量，其计算速度比PRD诱导中位数快30倍，同时保持相似的精度水平。例子和模拟研究表明，从PRD中诱导出的深度中位数在鲁棒性和效率方面比从RD诱导的最大深度估计量更有优势，后者是目前领先的回归中位数。
作者：Yijun Zuo
论文ID：1905.11846
分类：Computation
分类简称：stat.CO
提交时间：2021-01-19