由集群代数引出的可积和非可积差分方程的一个家族
摘要：一个参数族的二阶非线性差分方程$$ x_{n-1}x_nx_{n+1}=x_{n-1}+(x_n)^{\eta-1}+x_{n+1}, \quad (\eta \in \mathbb{N})$$ 已经被探索。由于上述方程源自秩为2的团簇代数的种子变异，只有当$\eta \leq 3$时，该方程的解才是周期性的。为了评估$\eta \geq 4$时的动力学，我们研究了与差分方程等价的 birational 映射的代数熵；当$\eta=4$时它为零，但是当$\eta \geq 5$时为正数。这个事实表明了$\eta \leq 4$的差分方程是可积的，而$\eta \geq 5$的差分方程则不是。此外，我们还证明了$\eta \geq 4$的差分方程无法通过奇异性约束测试。这个事实与$\eta=4$的方程的线性化一致，并加强了$\eta \geq 5$的方程的非可积性。
作者：Atsushi Nobe and Junta Matsukidaira
论文ID：1904.02853
分类：Exactly Solvable and Integrable Systems
分类简称：nlin.SI
提交时间：2019-07-31