关于实数域上OR运算的概率度
摘要：对$n$个变量的OR函数，我们研究了其在实数上的概率度。对于一个介于(0,1/3)之间的错误参数$\epsilon$，任意布尔函数$f$在实数上的$\epsilon$-error概率度是满足以下条件的最小非负整数$d$：存在一个分布$D$，其多项式完全支持在次数最多为$d$的多项式上，对于所有$z \in \{0,1\}^n$，满足$Pr_{P \sim D} [P(z) = f(z)] \geq 1- \epsilon$。根据Tarui（理论计算机科学，1993年）和Beigel, Reingold, 和Spielman（第6届CCC会议论文集，1991年）的研究结果，我们已知OR函数的$\epsilon$-error概率度至多为$O(\log n \cdot \log \frac{1}{\epsilon})$。我们的第一个观察结果是，这可以改进为$O(\log {{n}\choose{ \leq \log \frac{1}{\epsilon}}}})$，对于较小的$\epsilon$值来说更好。 在所有已知的OR函数的概率多项式构造中（包括上述改进），分布$D$的支持多项式$P$具有以下特殊结构：$P = 1 - (1 - L_1)(1 - L_2)\cdots(1 - L_t)$，其中每个$L_i(x_1,\ldots,x_n)$是变量$x_1,\ldots,x_n$的线性形式，即多项式$1-P(x_1,\ldots,x_n)$是仿射形式的乘积。我们证明了当限制在上述形式的多项式上时，OR函数的$\epsilon$-error概率度为$\Omega(\frac{\log a}{\log^2 a})$，其中$a = \log {{n}\choose{\leq \log \frac{1}{\epsilon}}}$，从而与上述上界相匹配（多对数因子）。
作者：Siddharth Bhandari, Prahladh Harsha, Tulasimohan Molli, Srikanth Srinivasan
论文ID：1812.01982
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2022-11-24