将论文标题翻译为中文："分解二元形式的近乎最优算法"
摘要：对称张量分解是一个重要的问题，在信号处理、统计学、数据分析和计算神经科学等领域有广泛应用。它相当于Waring问题的扩展，即将一个n个变量的齐次多项式（次数为D）表示为线性形式的D次方的和，同时使用最小数量的项。这个最小数量被称为多项式/张量的秩。我们专注于分解二次形式的问题，这个问题对应于对称维度为2，阶数为D的张量的分解。在这个表述下，问题的根源可以追溯到不变理论中的规范形式的分解。在这个背景下，已经提出了许多不同的算法。我们介绍了一种超快的算法，通过结构化线性代数的结果改进了以前的方法。该算法实现了软线性的算术复杂度上限。据我们所知，以前已知的算法的复杂度上限至少是二次的。我们的算法可以在$O(M(D) log(D))$的算术运算中计算出一个符号分解，其中$M(D)$是计算两个次数为D的多项式乘积的复杂度。当分解是唯一的时候，它是确定性的。当分解不唯一时，我们的算法是随机的。我们介绍了它的蒙特卡洛版本，并展示了如何在相同的复杂度内将其改成拉斯维加斯版本。从符号分解中，我们用$2^{--\epsilon}$ 的误差近似分解的项，在$O(D log^2(D) (log^2(D) + log(\epsilon)))$ 的算术运算中。我们使用Kaltofen和Yagati（1989）的结果来限制分解中涉及的系数表示的大小，并将问题的代数度数限制为min(rank, D - rank + 1)。我们证明了这个上界是紧的。当输入多项式具有整数系数时，我们的算法执行，多项式对数因子的情况下，$O_{bit} (D_{ell} + D^4 + D^3)$ 位操作，其中$au$ 是系数的最大位数，$2^{--\ell}$ 是分解项的相对误差。
作者：Mat''ias Bender (PolSys), Jean-Charles Faug`ere (PolSys), Ludovic Perret (PolSys), Elias Tsigaridas (PolSys)
论文ID：1810.12588
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2019-09-12