度量测度空间的距离分布与逆问题
摘要：数据科学、形状分析和对象分类中的应用通常需要比较定义在不同环境空间上的概率分布。为了实现这一点，需要在给定的度量测度空间类上定义一种距离概念，即具有概率测度的紧度量空间。这些距离通常定义为度量测度空间不变量之间的比较，例如距离分布（在文献中也称为形状分布、距离直方图或形状上下文）。一般来说，以距离分布为基础定义的距离实际上是拟度量，因为在比较非同构的空间时可能会消失。本文的目标是建立一个正式的框架来评估距离分布的判别能力，即这些拟度量不能定义适当的度量的程度。我们在这些不变量上阐述了几个精确的逆问题，并在几类度量测度空间中回答了这些问题，包括平面曲线类别，我们在此类别中给出了对Brinkman和Olver的曲线直方图猜想的反例，嵌入和黎曼流形类别，我们获得了球体刚性性质的结果，并且度量图类别，我们获得了一种局部单射性结果，类似于Boutin和Kemper在点云配置领域的经典工作。逆问题通过在度量测度空间的空间上引入Gromov-Wasserstein距离的一个变体进一步予以背景化，这是受到原始的Monge最优传输公式的启发。
作者：Facundo M''emoli and Tom Needham
论文ID：1810.09646
分类：Metric Geometry
分类简称：math.MG
提交时间：2022-07-19