关于光滑非均匀网格上多步方法的零稳定性
摘要：线性多步方法必须是收敛的才能使得零稳定。 尽管固定步长理论于1950年代被确立，但在非均匀网格上的零稳定性了解较少。在这里，我们研究了在紧凑区间和平滑的非均匀网格上的零稳定性。在实际计算中，可以使用平滑（小的）步长变化来实现步长控制。结果网格${t_n}_{n=0}^N$可以被建模为等距离网格在平滑变形映射下的映像，即$t_n=\Phi(λu_n)$，其中$λu_n=\frac{n}{N}$，并且映射$\Phi$是随着$\Phi(0)=0$和$\Phi(1)=1$的单调递增函数。该模型在应用于平滑问题时适用于任何固定阶数的方法，因为此时步长是由（平滑的）主要误差函数和决定$Φ$的容错要求来确定的，并且决定$N$的终止准则。对于任何强稳定的多步方法，存在一个$N^*$，使得当$N>N^*$时，该方法在零稳定上成立，前提是$Φ \in C^2[0,1]$。因此，零稳定性在所有非均匀网格上成立，其中相邻步长满足$ \frac{h_n}{h_{n-1}} = 1 + \mathrm{O}(N^{-1})$，当$N \to \infty$时。这些结果以BDF类型方法为例进行说明。
作者：Gustaf S"oderlind, Imre Fekete, Istv''an Farag''o
论文ID：1804.04553
分类：Numerical Analysis
分类简称：math.NA
提交时间：2022-04-21