区块SOS分解
摘要：SOS分解问题的一种广泛使用的方法是将其简化为半定规划问题（SDP），在理论上可以高效地解决。实际上，尽管许多SDP求解器可以处理一些大规模的问题，但是当输入规模增加时，该方法的效率和可靠性显著降低。最近，通过利用输入SOS分解问题的稀疏性，提出了一些预处理算法[5,17]，它们将满足特定定义或特性的输入问题划分为较小的SDP问题，然后将较小问题交给SDP求解器以高效地获得可靠结果。一个自然的问题是上述预处理算法在多大程度上起作用。也就是说，在SOS多项式中有多少满足这些定义或特性的多项式？在本文中，我们定义了一种块SOS可分解多项式的概念，它是[5]和[17]中那些特殊类别的推广。粗略地说，块SOS可分解多项式是一类多项式，其SOS分解问题可以通过仅考虑它们的支撑集（不考虑系数）而转化为较小的问题（换句话说，对应的SDP矩阵可以进行块对角化）。然后，我们证明了块SOS可分解多项式集在SOS多项式集中具有零测度。这意味着如果我们仅考虑多项式的支撑集（不考虑系数），那么这些基于SDP的SOS求解器中减小SDP规模的算法只能在很少的多项式上工作。因此，这表明可以通过上述预处理算法进行优化的SOS分解问题非常少。
作者：Haokun Li and Bican Xia
论文ID：1801.07954
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2018-01-31