欧几里德空间上近乎最大的Gowers-Host-Kra范数的函数
摘要：$k \geq 2, n \geq 1$是整数。令$f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{C}$。 $f$的第$k$个Gowers-Host-Kra范数通过递归定义为 \begin{equation*} | f|_{U^{k}}^{2^{k}} =\int_{\mathbb{R}^{n}} | T^{h}f \cdot \bar{f}|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}} dh \end{equation*} 其中$T^{h}f(x) = f(x+h)$并且$|f|_{U^1} = \left| \int_{\mathbb{R}^{n}} f(x) dx \right|$。这些范数是Gowers在他对Szemeredi定理的工作中引入的，以及Host-Kra在遗传设置中引入的。Eisner和Tao证明了对于每个$k \geq 2$，存在$A(k,n)< \infty$和$p_{k} = \frac{2^{k}}{k+1}$使得对于所有$f \in L^{p_{k}}(\mathbb{R}^{n})$，有$| f|_{U^{k}} \leq A(k,n)|f|_{p_{k}}$。这个不等式的最优常数$A(k,n)$和极值函数已知。在这篇文章中，我们展示了如果比值$| f |_{U^{k}}/|f|_{p_{k}}$几乎最大，那么$f$在$L^{p_{k}}$范数下接近一个极值函数。
作者：A. Martina Neuman
论文ID：1711.04900
分类：Classical Analysis and ODEs
分类简称：math.CA
提交时间：2023-04-04