广义Gegenbauer函数的分数阶均匀界限和渐近行为
摘要：分数阶广义Gegenbauer函数(GGF-Fs)是具有分数阶度数的特殊函数，用${}^{r!}G^{(lambda)}\_ u(x)$（右GGF-Fs）和${}^{l}G^{(lambda)}\_ u(x)$（左GGF-Fs）表示，其中$x\in (-1,1)$，$\lambda>-1/2$且$u \geq 0$是实数。GGF-Fs通常是非多项式的，通过允许整数度数为实数分数度数，以基于超几何表示的经典Gegenbauer多项式定义。值得注意的是，GGF-Fs对于多项式逼近奇异函数的最优误差估计是必不可少的，并且与最近引入的用于解决分数微分方程的几个非标准基函数家族有着密切的关系。然而，GGF-Fs的一些性质对于分析和应用非常重要，但目前还不为人所知或尚未探索。本文的目的有两个，第一，对于$lambda, u>0$和$x=\cos heta$（其中$heta \in (0,pi)$），得到式子$(sin varphi)^{lambda},{}^{r!}G\_ u^{(lambda)}(cos varphi)= frac{2^lambdaGamma(lambda+1/2)}{sqrt{pi} {( u+lambda)^{lambda}}} , {cos (( u+lambda)varphi- \frac{lambda\pi}{2})} +{mathcal R}\_ u^{(lambda)} (varphi)$，并推导出"残余"项${mathcal R}\_ u^{(lambda)} (varphi)$的精确表达式。利用这个结果，我们得到了GGF-Fs在$u$上的界限。在适当的权重函数下，这些界限对于$ hetain [0,pi]$也是一致的。此外，我们可以研究具有大分数度数$u$的GGF-Fs的渐近性质。第二，为了更好地理解这个有用的特殊函数家族，我们提供了GGF-Fs的其他各种性质。
作者：Wenjie Liu and Li-Lian Wang
论文ID：1709.06268
分类：Numerical Analysis
分类简称：math.NA
提交时间：2020-06-02