整数规划中使用斯坦尼茨引理的临近结果和更快算法
摘要：整数规划问题的标准形式$max {c^Tx : Ax = b, , x\geq 0, , x \in Z^n}$，其中 $A \in Z^{m \times n}$，$b \in Z^m$，$c \in Z^n$。我们证明了这样一个整数规划问题可以在时间$(m\Delta)^{O(m)} \cdot |b|_{\infty}^2$内解决，其中 $\Delta$ 是$A$中每个元素绝对值的上界。这一结果改进了Papadimitriou (1981)的最佳界限$(m\Delta)^{O(m^2)}$，此外，$b$的元素绝对值也需要被$\Delta$限制。我们的结果基于Steinitz的引理，该引理说明对于一个包含在某个范数单位球内的向量集合，在它们之和为零的情况下，可以通过排序使得所有部分和的范数被$m$限制。我们还利用Steinitz引理证明了最优整数解和分数解的$ell_1$距离，在变量有上界的情况下，也被$m \cdot (2,m \cdot \Delta+1)^m$限制。这里 $\Delta$ 再次是$A$的元素绝对值的上界。我们界限的创新之处在于它与$n$无关。我们通过将其应用于一般的背包问题来证明我们界限的重要性，从而获得了改进最近文献的结构和算法结果的证据。
作者：Friedrich Eisenbrand, Robert Weismantel
论文ID：1707.00481
分类：Discrete Mathematics
分类简称：cs.DM
提交时间：2019-06-10