舍费尔猜想的建设性方法
摘要：对于任何诱导矩阵范数和任何可逆矩阵T（n），J.J. Schaeffer证明了不等式[ | det T | || T^{-1} || ≤ sqrt(en) ]成立，其中mathcal{S} ≤ sqrt(en)。他猜测最佳的S实际上是有界的。这一猜测被Gluskin-Meyer-Pajor以及随后的J. Bourgain和H. Queffelec的贡献所驳斥，他们逐步改进了关于mathcal{S}的下界估计。这些文章依赖于与复数幂和理论的联系。概率论或数论分析被用来证明存在增长的mathcal{S}的矩阵T，但是这样的T的显式构造仍然是未解决的问题。在本文中，我们提出了一种不依赖于幂和理论的构造方法来证明Schaeffer的猜想。因此，我们提出了一个具有单一频谱λ⊆ℂ-{0}的Toeplitz矩阵的显式序列，使得mathcal{S} ≥ c(λ)sqrt(n)。当ζ≠0时，我们的框架还可以提供关于共轭变量（ζ-T）^{-1}的下界估计。当给定频谱时，我们还获得了共轭变量的新的上界估计。这产生了关于T^{-1}的新的上界估计，这稍微改进了Schaeffer的原始估计。
作者：Oleg Szehr, Rachid Zarouf
论文ID：1705.10704
分类：Numerical Analysis
分类简称：math.NA
提交时间：2021-03-02