实时和复数记数系统中的在线乘法和除法算法
摘要：位置计数系统由基数和数字集合组成。基数是一个实数或复数$ \eta $，满足$ |\eta|>1 $，数字集合$ A $是一个包含0的有限集。因此，数字可以看作是有限或无限的数字串。在线算法以串行方式逐个处理输入数据。Trivedi和Ercegovac引入的在线算术是一种计算模式，其中操作数和结果以数字序列的方式通过算术单元流动，从最高有效数字开始。 本文首先对Trivedi和Ercegovac关于任意实数或复数$ \eta $和实数或复数数字的在线乘法和除法算法进行了一般化的形式化。然后我们定义了所谓的OL Property，并证明如果$(\eta, A)$具有OL Property，则Trivedi-Ercegovac算法可以实现在线乘法和除法。对于实数基数$ \eta $和连续整数数字集$ A $，如果$ |A|>|\eta| $，则系统$(\eta, A)$具有OL Property。对于复数基数$ \eta $和对称的连续整数数字集$ A $，如果$ |A|>\overline{\eta}+\eta+\overline{\eta}| $，则系统$(\eta, A)$具有OL Property。在系统$(\eta, A)$中并行实现加法和减法，并且分母的预处理是可行的的情况下，我们的在线乘法和除法算法具有线性时间复杂度。本文还详细介绍了三个示例：基数$ \eta = \frac{3+\sqrt{5}}{2} $，数字集$ A = \{-1,0,1\} $；基数$ \eta = 2i $，数字集$ A = \{-2,-1,0,1,2\} $；基数$ \eta = -\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = -1 + \omega $，其中$ \omega = \exp{\frac{2i\pi}{3}} $，数字集$ A = \{0, \pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2 \} $。
作者：Christiane Frougny, Marta Pavelka, Edita Pelantova, Milena Svobodova
论文ID：1610.08309
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-06-22