任意偏移下波波夫形式最小插值基的快速计算
摘要：计算一般插值问题的最小解基，该问题包括 Hermite-Padé 近似和约束多元插值，并在编码理论和安全领域中有应用。这个问题要求找到 m 个大小为 $sigma$ 的向量之间的单变量多项式关系；这些关系的次数应该相对于输入的位移具有较小的度数。对于任意的位移，我们提出了一种算法来计算以位移 Popov 正常形式表示的插值基，其成本为 $mathcal{O} ilde{~}(m^{omega-1} sigma)$ 个有限域运算，其中 $omega$ 是矩阵乘法的指数，符号 $mathcal{O} ilde{~}(cdot)$ 表示省略对数项。在 Hermite-Padé 近似和一般插值情况下，早期的工作计算的是非标准化基。由于对于任意的位移，这样的基可能具有 $Theta(m^2 sigma)$ 的大小，因此仅在对位移进行限制且确保输出大小较小的情况下，才能实现 $mathcal{O} ilde{~}(m^{omega-1} sigma)$ 的成本上限。如何处理同样复杂度上限下的任意位移的问题仍然是悬而未决的。为了获得任意位移的目标成本，我们加强了输出基和算法过程中获得的基的属性：所有的基都以位移 Popov 形式计算，其大小始终为 $mathcal{O}(m sigma)$。然后，我们设计了一种分而治之的方案。我们通过首先计算中间基的度数信息，将初始插值问题递归地转化为具有更方便的位移的子问题。
作者：Claude-Pierre Jeannerod, Vincent Neiger, Eric Schost, Gilles Villard
论文ID：1602.00651
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2016-05-16